مشخصات اشکال هندسی

متوازی الاضلاع

هر چهار ضلعی که اضلاع آن دو به دو با هم موازی باشند

ضلع های روبرو موازیند.

زاویه های روبرو با هم مساویند.

قطرها یکدیگر را نصف می کنند.

مستطیل

متوازی الاضلاعی که قطرهای آن هم اندازه هستند

متوازی الاضلاعی  که اضلاع متوالی بر هم عمودند.

1- مستطیل متوازی الاضلاع است.،یعنی

ضلع های روبرو موازیند.

زاویه های روبرو با هم مساویند.

قطرها یکدیگر را نصف می کنند.

2- چهار زاویه قائمه دارد

3- قطرها هم اندازه اند

4- اضلاع متوالی بر هم عمودند.

لوزی

متوازی الاضلاعی است که قطرهای آن بر هم عمودند.

متوازی الاضلاعی است که اضلاع متوالی آن هم اندازه اند.

1- لوزی یک متوازی الاضلاع است.،یعنی

ضلع های روبرو موازیند.

زاویه های روبرو با هم مساویند.

قطرها یکدیگر را نصف می کنند.

2- اضلاع آن با هم مساویند

3- قطر ها بر عمودند.

مربع

متوازی الاضلاعی است  که اضلاع متوالی آن بر هم عمود و هم اندازه اند.

متوازی الاضلاعی است  که قطرهای آن بر هم عمود و هم اندازه اند.

لوزی است که چهار زاویه قائمه دارد

مستطیلی است که اضلاع متوالی آن هم اندازه اند.

1- مربع یک متوازی الاضلاع است.،یعنی

ضلع های روبرو موازیند.

زاویه های روبرو با هم مساویند.

قطرها یکدیگر را نصف می کنند.

2- قطرها بر هم عمود و هم اندازه اند

3- اضلاع متوالی بر هم عمود وهم اندازه اند.

شباهت های وتفاوت های مربع ولوزی:
شباهت ها
1- هر دو چهار ضلع مساوی دارند
2-در هر دو ضلعهای رو به رو با هم عمود هستند
3- در هر دو ضلع ها ی رو به رو با هم موازیند
4-در هر دو ضلع های روبرو با هم مساویند.
5- در هر دو قطر ها یکدیگر ا نصف می کنند. تفاوت ها
1- مربع چهار زاویه ی راست دارد ول ی لوزی ندارد
2- در مربع قطر ها با هم برابرند ولی در لوزی نیستند.
3- در مربع ضلع ها ی متوالی کنار هم بر هم عمودند ولی در لوزی عمود نیستند.
4- مربع چهار خط تقارن دارد ولی لوزی دو خط تقارن دارد.

مستطیل و متوازی الاضلاع
شباهت ها
1- در هر دو قطر ها بر هم عمود نیستند.
2- در هر دو ضلع های روبرو با هم موازیند.
3- در هر دو ضلع های روبرو با هم مساویند.
4- در هر دو قطر ها یکدیگر را نصف می کنند.
5- در هر دو،هر قطر از وسط قطر دیگر می گذرد. تفاوت ها
1- مستطیل چهار زاویه ی راست دارد ولی متوازی الاضلاع ندارد.
2- در مستطیل قطر ها با هم مساویند ولی در متوازی الاضلاع نیستند.
3- در مستطیل ضلع های متوالی بر هم عمودند ولی در متوازی الاضلاع عمود نیستند.
4- مستطیل دو خط تقارن دارد ولی متوازی الاضلاع ندارد.

لوزی و متوازی الاضلاع
شباهت ها
1- در هردو قطرها برابر نیستند.
2- در هر دو ضلع های متوالی بر هم عمود نیستند
3- در هر دو زاویه های روبرو با هم مساوی هستند.
4- در هر دو ضلع های روبرو با هم موازیند.
5 - در هر دو ضلع های روبرو با هم مساویند.
6- در هردو قطر ها یکدیگر را نصف می کنند. تفاوت ها
1- در لوزی قطر ها بر هم عمودند و لی در متوازی الاضلاع عمود نیستند.
2- در لوزی چهار ضلع با هم مساویند ولی در متوازی الاضلاع ضلع های روبرو با هم مساویند.
3- لوزی دو خط تقارن دارد ولی متوازی الاضلاع خط تقارن ندارد.

مربع و مستطیل
شباهت ها
1- در هر دو ضلع های متوالی بر هم عمودند.
2- هر دو چهار زاویه ی راست دارند.
3- در هر د وقطر ها با هم برابرند.
4- در هر دو ضلع های روبرو با هم موازیند
5- در هر دو ضلع های روبرو با هم مساویند.
6- در هر دو قطرها یکدیگر را نصف می کنند. تفاوت ها
1- در مربع چهار ضلع با هم برابرند ولی در مستطیل ضلع های روبرو با هم برابرند.
2- در مربع قطر ها بر عم عمود هستند ولی در مستطیل عمود نیستند.
3- مربع چهار خط تقارن دارد ولی مستطیل د و خط تقارن دارد.

حل رادیکال های مسلسل ساده

شاید تاکنون در کتاب های ریاضی عباراتی مانند زیر را دیده باشید:

اینگونه رادیکالها را رادیکال های مسلسل (سلسله وار) نامتناهی یا در لاتین Infinite Nested Radicals می نامند. برای محاسبه اینگونه رادیکالها روش های گوناگونی ارائه شده و شاید برای نخستین بار مسائلی از اینگونه در یادداشت های رامانوجان ریاضیدان خودآموخته هندی به طور دقیق مطرح و به کمک اتحاد هایی که بعدها اتحاد های رامانوجان نام گرفت حل گردید. هاردی ریاضیدان انگلیسی در مورد وی گفته است او همردیف ریاضیدان هایی همچون گاوس، اویلر و کوشی بود و باید او را یکی از ریاضیدانان بزرگ دانست. برای محاسبه رادیکال هایی به صورت

کافی است طرفین رابطه فوق را به توان دو برسانیم در این صورت داریم:

با حل معادله درجه دوم    خواهیم داشت:

بسته به مقدار  مقدار  گنگ یا گویاست. برای اینکه  گویا باشد بایستی زیر رادیکال مربع کامل باشد یعنی

بنابراین عددی فرد است یعنی:.

در نتیجه

بنابراین اگر  به صورت حاصلضرب دو عدد متوالی باشد  گویا خواهد بود. برای مثال در عبارتی که در بالا ذکر شد داریم:

برای دانلود روی لینک زیر کلیک کنید

Download

نقطه ی S کانون سهمی ، l خط هادی و خط m از راس سهمی می گذرد و از S و l به یک فاصله است.
کار را برای رسم یک مقطع مخروطی دیگر آغاز می‌کنیم. این بار دایره ی c (به مرکز O)را در نظر گرفته و نقطه ی S (نقطه ای غیر از O)را درون آن در نظر بگیرید.سپس کاغذ را طوری تا کنید که نقطه‌ی P از دایره ی c بر S منطبق شود. برای چندین نقطه ی متمایز روی دایره این کار را تکرار کنید. خواهید دید که تاهای کاغذ،مماس هایی بر یک بیضی به وجود می‌آورند که نقطه ی S یکی از دو کانون آن است.(کانون دیگر کجاست؟)حال با استفاده از این مماس ها با دقت خوبی می‌توانید بیضی را رسم کنید.

بالاخره می‌‌خواهیم شیوه ی رسم یکی دیگر از مقاطع مخروطی را به وسیله ی تا زدن کاغذ برای شما توضیح دهیم. این بار یک دایره(به مرکز C) و نقطه ی F را بیرون آن در نظر بگیرید.سپس کاغذ را طوری تا کنید که نقطه ا‌ی از دایره بر F منطبق شود. برای چندین نقطه ی متمایز روی دایره این کار را تکرار کنید. خواهید دید که تاهای کاغذ،مماس هایی بر یک هذلولی به وجود می‌آورند که نقطه ی F یکی از دو کانون آن است.(کانون دیگر کجاست؟).برای تعیین مجانب های هذلولی،کافی است دو مماسی که از F بر دایره رسم می شوند را در نظر گرفته،اگر M,N نقاط تماس باشند،عمود منصف های MF,NF(با قرار دادن نقاط M,N بر F و تا کردن کاغذ به دست می آیند.)،مجانب های هذلولی هستند.  

مشاهده می‌کنید که با چندین بار تا کردن کاغذ توانستیم مماس های بر مقاطع مخروطی را یافته و با داشتن این مماس ها،مقاطع را با دقت خوبی رسم کنیم.

2)مجله ی گنجینه،شماره ی 37 

هرعدد گویا به دو صورت کسر متعارفی یا عدد اعشاری نشان می دهند که چگونگی تبدیل آن ها به هم را بررسی می کنیم. 

تبدیل نماد متعارفی به نماد اعشاری
برای تبدیل یک عدد کسری به نماد اعشاری کافی است صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم کنیم و خارج قسمت را درنظر بگیریم.
از این جهت نماد اعشاری کسرها را به دو دسته ی تحقیقی و متناوب می توان تقسیم کرد.
1) دسته ی اول کسرهایی هستند که به هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقی مانده ی صفر می رسیم و عمل تقسیم در مرحله ای متوقف می شویم. نماد اعشاری این کسر ها تحقیقی (مختوم) نامیده می شوند. 
نکته: به طور کلی کسر های تحویل ناپذیری که در تجزیه ی مخرجشان فقط عامل 2 یا 5 ظاهر شوند دارای نماد اعشاری تحقیقی می باشند. 
2) دسته ی دوم کسر هایی هستند که وقتی صورتشان را بر مخرجشان تقسیم می کنیم هیچ گاه به باقی مانده صفر نمیرسیم و در خارج قسمت بعد از ممیز یک یا چند رقم به طور متناوب تکرار می شوند. که این ارقام تکراری را دوره ی گردش می نامند. نماد اعشاری این کسرها را متناوب می نامند. این دسته از کسر ها خود به دو دسته تقسیم می شوند. در برخی از آنها هنگام تبدیل به نماد اعشاری بلافاصله بعد از ممیز دوره ی گردش آغاز می شود که نماد اعشاری آن ها را متناوب ساده مینامیم. برخی دیگر نیز به هنگام تقسیم صورت به مخرج بلافاصله بعد از ممیز دوره ی گردش آغاز نمی شود بلکه یک یا چند بار رقم می آیند سپس دوره ی گردش آغاز می گردد. نماد اعشاری این کسر ها را متناوب مرکب می نامند. ارقامی که بعد از ممیز می آیند ولی تکرار نمی شوند دوره ی غیر گردش نامیده می شوند.
نکته: برای تشخیص این که نماد اعشاری یک کسرمتناوب ساده یا مرکب است به این ترتیب عمل می کنیم که ابتدا کسر را ساده می کنیم تا به یک کسر تحویل پذیر تبدیل شود. سپس مخرج کسر را تجزیه می کنیم. اگر در تجزیه ی مخرج عامل 2 یا 5 وجود نداشته باشد و حداقل یکی از اعداد اول دیگر ظاهر شود نماد اعشاری کسر متناوب ساده و اگر در تجزیه ی مخرج عامل 2 یا 5 و حداقل یک عامل اول و غیر از 2 یا 5 وجود داشته باشد نماد اعشاری کسر متناوب مرکب است.
تبدیل نماد اعشاری به نماد متعارفی
1) تبدیل نماد اعشاری متناوب ساده به کسر متعارفی:
برای تبدیل نماد اعشاری متناوب ساده به کسر متعارفی عدد اعشاری را مساوی X فرض کرده وطرفین تساوی حاصل را با توجه به این که دروه ی گردش یک رقمی. دورقمی و سه رقمی باشد به ترتیب 10 یا 100 یا 1000 ضرب می کنیم. سپس طرفین دو معادله ی حاصل را از هم کم می کنید تا معادله ی جدیدی فاقداعداد متناوب ساخته شود جواب این معادله کسر مولد آن عدد اعشاری است.
2) تبدیل نماد اعشاری متناوب مرکب به کسر متعارفی:
برای تبدیل نماد اعشاری متناوب مرکب به کسر متعارفی ابتدا عدد را مساوی x قرار داده سپس با درنظر گرفتن ارقامی که بعد از ممیز آمده ولی تکرار نمی شود (دوره ی غیر گردش) دوطرف معادله را اعداد 10 یا 100 یا 1000 یا... ضرب می کنیم تا اعدد اعشاری متناوب مرکب به عدد اعشاری متناوب ساده تبدیل شود. سپس مانند تبدیل اعداد اعشاری متناوب ساده به نماد متعارفی عمل می کنیم.
راه حل تستی برای تبدیل نماد اعشاری به کسر متعارفی
اگر نماد اعشاری متناوب ساده باشد ارقام دوره ی گردش را در صورت کسر نوشته و در مخرج به تعداد ارقام دوره ی گردش 9 می گذاریم.

روش آموزش هندسه در دوره ابتدایی

گروه مخاطب: پایه های اول تا ششم ابتدایی

هندسه ای که در دوره ابتدایی آموزش داده می شود به هیچ وجه هندسه ی مجرد و استدلالی نیست، بلکه هندسه ای است شهودی – تجربی که در آن مفاهیم هندسی نظیر، خط، نقطه،به کمک مشهودات ارائه می شوند و خواص هندسی، یعنی قضایا، به کمک تجربه بدست می آیند. لذا، در دوره ی ابتدایی، بخصوص در سالهای پایین، از ارائه هر گونه تعریف و استدلال صرفا" ریاضی خودداری می شود و تنها نتایجی که دانش آموزان خود بدست آورده اند به صورت یک عبارت خلاصه می شود. روند ارائه مفاهیم و بدست آوردن خواص هندسی در دوره ابتدایی به قرار ذیل است:

در ریاضی اول، خط (به طور کلی، خمیده، راست، شکسته، باز و بسته) و سپس اشکال هندسی نظیر دایره، مثلث و مربع معرفی می شوند. در ریاضی دوم، نقطه (ورابطه آن با خط) و بعد مستطیل و لوزی معرفی می شوند و دانش آموزان با کار کردن با خط کش و دیگر وسایل لازم به روش کاوشگری، به بعضی از خواص اشکالی که نام آن ها را می داند پی می برد و کم کم اختلاف آن ها را در می یابد. در ریاضی سوم، به طور کلی با چند ضلعی ها آشنا می شود، گوشه به صورت شهودی به او آموزش داده می شود، از وضع دو خط نسبت به هم برای او صحبت می شود، اندازه گیری پاره خط و بعد محیط اشکال و سپس تعیین مساحت اشکال به او آموزش داده می شود. در ریاضی چهارم، زاویه معرفی می شود و ضمن جمع آوری و دسته بندی خواص اشکال دستوراتی برای محیط و مساحت اکثر اشکال بدست می آید. این روند در ریاضی پنجم نیز ادامه پیدا می کند. البته در ریاضی چهارم و پنجم سعی شده است که اطلاعات دانش آموزان در مورد هر شکل دسته بندی شود تا در موقع لزوم خواص هر شکل را حاضر الذهن داشته باشند. آموزگار باید به هنگام مشاهده ی ضعف در دانش آموزان خود، ابتدا مطلب هندسی که دانش آموزان در آن ضعیف هستند تشخیص دهند و بعد آن مطلب را به روشی که در کتاب های قبلی آموزش داده شد، به آن ها آموزش دهند. از وظایف خطیر آموزگاران آن است که بد آموزی های احتمالی و کمبود های موجود در دانسته های دانش آموزان را رفع کنند و این مستلزم آن است که خود از روند تکاملی یک مفهوم در کتابهای ریاضی ابتدایی اطلاع کاملی داشته باشند تا بتوانند محصلین خود را با روشی هماهنگ با گذشته و آینده آموزش دهند.

الف) بعد از ترکیب ها علامت صفت تفضیلی «تر» می گذاریم، اگر معنی داشت صفت و موصوف است، ولی اگر معنی نداشت مضاف و مضافٌ اله است. مثال:

دیوار بلند -------- دیوار بلند تر: صفت و موصوف

دانشمند بزرگ ----- دانشمند بزرگ تر: صفت و موصوف

کشور ایران ------- کشور ایران تر (معنی ندارد) مضاف و مضافٌ الیه

ب) بعد از کلمه ی اول علامت ویرگول می گذاریم و بعد از کلمه ی دوم فعل «است» قرار می دهیم. اگر معنی نداشته باشد مضاف و مضافٌ الیه است. با کلمه ی «این» در ابتدای جمله. مثال:

گل زیبا ------------- این گل، زیبا است.: صفت و موصوف

کتاب سبز ----------- این کتاب، سبز است: صفت و موصوف

پایه ی میز --------- این پایه، میز است (معنی ندارد) مضاف و مضافٌ الیه

موصوف و صفت و مضاف و مضاف الیه

اول برای تشخیص صفت اگر به کلمه ای تر و یا ترین اضافه کنیم و کلمه به دست آمده معنی دار شد آن کلمه صفت است. معمولاً صفت را نمی توان جمع بست. (به آن ها یا آن اضافه کرد).

برای تشخیص موصوف و صفت از مضاف و مضاف الیه می توان به ترکیب یکی از موارد زیر را اضافه نمود در صورتی که ترکیب به دست آمده معنی دار شد موصوف و صفت و اگر بی معنی بود مضاف و مضاف الیه است

1- به آخر ترکیب  «تر» اضافه کنیم. 2 -  به آخر ترکیب «است» اضافه کنیم.

3- بین دو کلمه  «ای»  اضافه کنیم. 4 – دو یا سه مورد بالا را با هم اضافه کنیم 

مثال: کلاس پنجم                کلاس پنجم تر     کلاسی پنجم است   که هیچ کدام از ترکیبها معنی دار نیست پس مضاف و مضاف الیه است.

دانش آموز زرنگ              دانش آموز زرنگ تر   دانش آموزی زرنگ که هر دو معنی دار است پس موصوف و صفت است

مفاهیم هندسی ریاضی چهارم ابتدایی 1 – پاره خط فقط یک نقطه ی وسط دارد. 2 – برای کشیدن یک خط راست کافی است 2 نقطه از آن را داشته باشیم. 3 – نیم خط قسمتی از خط راست است که ابتدای آن مشخص و لی انتهای آن مشخص نباشد. فقط از یک طرف ادامه پیدا کند. 4 – پاره خط قسمتی از خط راست است که ابتدا و انتهای آن مشخص باشد و ما نتوانیم آن را  ادامه دهیم. 5 – هر زاویه از دو نیم خط تشکیل شده است. 6 – به نقطه ی مشترک دو نیم خط در زاویه راس زاویه می گویند. 7 – برای خواندن و نوشتن زاویه حرف راس زاویه را در وسط می نویسند. 8 – زاویه به زاویه ی راست یا قائمه، تند و باز تقسیم می شود. 9 – برای اندازه گیری زاویه ی راست یا قائمه از وسیله ای به نام گونیا استفاده می شود. 10 – زاویه ی تند از زاویه ی راست کوچکتر است. 11 – زاویه ی باز از زاویه ی راست بزرگتر است. 12 – نیم ساز نیم خطی است که از راس زاویه می گذرد و زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. 13 – دو خط که زاویه ی بین آن ها راست باشد، دو خط عمود برهم نامیده می شود. 14 – هر مثلثی که یکی از زاویه های آن قائمه باشد مثلث قائم الزاویه نامیده می شود. 15 – به بزرگترین ضلع مثلث قائم الزاویه وتر گویند. 16 – هر چهار ضلعی که فقط دو ضلع موازی داشته باشد ذوزنقه نامیده می شود. 17 – فاصله ی دو خط موازی برابر است با فاصله ی یک نقطه از یک خط تا خط دیگر. 18 – عبارت هایی که درستی تقسیم را نشان می دهد عبارت های تقسیم نامیده می شوند. (امتحان تقسیم) 19 – در تقسیم همیشه باقی مانده کوچکتر از مقسوم علیه است. این عبارت دوم تقسیم است. 20 – عبارت اول تقسیم (خارج قسمت ضربدر مقسوم علیه به اضافه ی باقی مانده  ) مساوی است با مقسوم. 21 – واحد اندازه گیری مایعات لیتر است مثل بنزین – نفت. 22 – به مستطیلی که ضلع های آن هم اندازه باشند مربع می گوییم. 23 – به هر لوزی که زاویه های آن قائمه باشند مربع می گوییم. 24 – اندازه ی دور هر شکل محیط آن شکل نامیده می شود. 25 – محیط مربع مساوی است با: اندازه ی یک ضلع ضربدر 4 26 – محیط لوزی برابر است با اندازه ی یک ضلع ضربدر 4 27 – محیط مثلث متساوی الاضلاع برابر است با: اندازه ی یک ضلع ضربدر 3 28 – برای اندازه گیری محیط مستطیل یا متوازی الاضلاع: اندازه ی دو ضلع متوالی را جمع می کنیم و بعد حاصل را دو برابر می کنیم. 29 – اعدادی بر 5 بخش پذیرند که رقم یکان آن ها 0 یا 5 باشد. 30 – اعدادی هم بر 2 هم بر5 بخش پذیرند که رقم یکان آن ها 0 باشد. 31 – اعدادی هم بر 2 هم بر5 و هم بر 10بخش پذیرند که رقم یکان آن ها 0 باشد. 32 – برای نوشتن کسرهای مساوی صورت و مخرج را در یک عدد واحد مثل 2 ضرب می کنیم. 33 – در ساده کردن کسرها باید صورت و مخرج را به یک عدد مساوی تقسیم کنیم. 34 – از دو کسر که دارای مخرج های مساوی است آن کسری بزرگتر است که صورتش بیشتر باشد. 35 – از دوکسر که دارای صورت های مساوی هستند آن کسری بزرگتر است که مخرش کمتر باشد. 36 – کسرهایی که صورت و مخرج مساوی دارند مساوی هستند با 1. 37 – مساحت هر مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول در عرض 38 – مساحت مربع برابر است با حاصل ضرب اندازه ی یک ضلع در خودش. 39 – مساحت هر متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب قاعده در ارتفاع آن. 40 – مساحت هر مثلث برابر است با قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر

در کنج دلم عشق کسی خانه ندارد

کس جای در این خانهء ویرانه ندارد

دل را بکف هر که نهم باز پس آورد

کس تاب نگهداری دیوانه ندارد

در بزم جهان جز دل حسرت کش ما نیست

آن شمع که میسوزد و پروانه ندارد

گفتم مه من از چه تو در دام نیفتی

گفتا چه کنم دام شما دانه ندارد

ای آه مکش زحمت بیهوده که تاثیر

راهی به حریم دل جانانه ندارد

در انجمن عقل فروشان ننهم پای

دیوانه سر صحبت فرزانه ندارد

از شاه و گدا هر که در این میکده ره یافت

جز خون دل خویش به پیمانه ندارد

تا چند کنی قصه ی اسکندر و دارا

ده روزه عمر این همه افسانه ندار

حسین پژمان بختیاری