حل رادیکال های مسلسل ساده

حل رادیکال های مسلسل ساده

شاید تاکنون در کتاب های ریاضی عباراتی مانند زیر را دیده باشید:

اینگونه رادیکالها را رادیکال های مسلسل (سلسله وار) نامتناهی یا در لاتین Infinite Nested Radicals می نامند. برای محاسبه اینگونه رادیکالها روش های گوناگونی ارائه شده و شاید برای نخستین بار مسائلی از اینگونه در یادداشت های رامانوجان ریاضیدان خودآموخته هندی به طور دقیق مطرح و به کمک اتحاد هایی که بعدها اتحاد های رامانوجان نام گرفت حل گردید. هاردی ریاضیدان انگلیسی در مورد وی گفته است او همردیف ریاضیدان هایی همچون گاوس، اویلر و کوشی بود و باید او را یکی از ریاضیدانان بزرگ دانست. برای محاسبه رادیکال هایی به صورت

کافی است طرفین رابطه فوق را به توان دو برسانیم در این صورت داریم:

با حل معادله درجه دوم    خواهیم داشت:

بسته به مقدار  مقدار  گنگ یا گویاست. برای اینکه  گویا باشد بایستی زیر رادیکال مربع کامل باشد یعنی

بنابراین عددی فرد است یعنی:.

در نتیجه

بنابراین اگر  به صورت حاصلضرب دو عدد متوالی باشد  گویا خواهد بود. برای مثال در عبارتی که در بالا ذکر شد داریم: