خلاصه فصل 2 و 3 ریاضی ششم

تذکر (در کتاب برای مقایسه اعداد از کلمات کوچکتر و بزرگتر به جای کمتر و بیشتر و به جای مخرج مساوی از مخرج مشترک استفاده کرده است که این قضیه اشتباه است)

واحد یعنی یک

معنی کسر: به قسمتی از واحد کسر می گویند

هر کسر از سه قسمت تشکیل شده است: صورت، مخرج و خط کسری

کسر مساوی با صفر: هر کسری که صورت آن صفر باشد مساوی صفر است.

کسر کمترتر از واحد: کسری که صورت آن از مخرجش کمتر باشد کسر کمتر تر از واحد می گویند.

کسر بیشتر از واحد: کسری که صورت آن از مخرجش بیشتر باشد کسر بیشتر از واحد می گویند.

کسر واحد: کسری که صورت و مخرج آن مساوی باشند کسر واحد می گویند. کسر واحد همیشه مساوی یک است.

عدد مخلوط: اگر صورت کسر از مخرج بیشتر باشد، یعنی چند واحد کامل و جزئی از آن مورد نظر باشد باید آن را به صورت عدد مخلوط نشان دهیم.

روش تبدیل کسر به عدد مخلوط: اگر کسر بیشتر از واحد باشد، (صورت از مخرج بیشتر باشد) صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم می کنیم. خارج قسمت را در عدد صحیح، و باقی مانده را در صورت، و مخرج همان قبلی است.

نمایش کسر روی محور اعداد: در محور هر واحد را به اندازه ی مخرج کسر تقسیم بندی می کنیم و عدد مورد نظر را روی محور نشان می دهیم.

توجه: مخرج هر کسر نشان می دهد که هر واحد را به چند قسمت مساوی تقسیم می کنیم.

کسرهای مساوی: اگر صورت ومخرج کسری را در عدد طبیعی بیشتر از یک ضرب کنیم، کسر مساوی با آن به دست می آید.

روش مقایسه ی کسرها:

حالت اول: در کسرهایی که مخرج آن ها مساوی اند، کسری بیشتر است که صورت آن بیشتر باشد.

حالت دوم: در کسرهایی که صورت آن ها مساوی اند، کسری بیشتر است که مخرج آن کمتر باشد.

حالت سوم: برای مقایسه کسرهایی که نه صورت های برابر و نه مخرج های برابر دارند باید هر دو کسررا هم مخرج نماییم بعد صورت هر کدام بیشتر باشد آن کسر بیشتر است.

حالت چهارم: مقایسه عددهای مخلوط: در مقایسه عددهای مخلوط ابتدا قسمت های صحیح، سپس قسمت های کسری را باهم مقایسه می کنیم.

ساده کردن کسرها:

روش اول:صورت ومخرج کسر رابه صورت حاصل ضرب دو عدد می نویسیم.اگرکسر ساده شدنی

باشد،عدد مشترک در صورت و مخرج راحذف می کنیم تا کسری مساوی با آن به دست آید.

روش دوم:برای ساده کردن کسرکافی است که صورت ومخرج آن را هم زمان بریک عدد طبیعی تقسیم کنیم واین عمل راتا جایی ادامه دهیم که که دیگر صورت و مخرج به طور مشترک بر هیچ عددی قابل قسمت نباشند به این ترتیب کسر به ساده ترین صورت ممکن تبدیل می شود.

توجه 1: اگر صورت و مخرج کسری را بر هر عدد طبیعی بیشتر از یک تقسیم کنیم. کسر مساوی با آن به دست می آید.

توجه 2: در ساده کردن کسرها هر چه صورت و مخرج را بر عدد های بیشتری تقسیم کنیم، ساده کردن سریع تر انجام می شود.

جمع و تفریق کسرها:

به طور کلی شرط لازم برای جمع یا تفریق چند کسرآن است که کسرها هم مخرج باشند. وقتی مخرج ها یکی باشد، یکی از آن ها را نوشته و صورت ها را با توجه به علامت بین کسر ها جمع یا کم می کنیم.

توجه: در جمع وتفریق عددهای مخلوط، ابتدا قسمت های صحیح و سپس قسمت های کسری را باهم جمع یا تفریق می کنیم.

ضرب اعداد مخلوط: به طور کلی برای ضرب اعداد مخلوط، ابتدا باید آن ها را به کسر تبدیل کنیم پس از ساده کرده سپس صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب را می کنیم.

تقسیم کسرها:

حالت اول: مخرج مساوی باشد کاری به مخرج نداریم صورت کسر اول رابالا و صورت کسر دوم در بالا

حالت دوم: اگر مخرج ها نا مساوی باشد

برای انجام تقسیم دو کسر ابتدا تقسیم را به ضرب تبدیل می نماییم، به این ترتیب که کسر اول را نوشته و به جای علامت تقسیم ضرب می گذاریم و معکوس کسر دوم را می نویسیم وبعد صورت را به صورت و مخرج را به مخرج ضرب می کنیم.

حالت دوم: برای آنها مخرج مساوی گرفته سپس کاری به مخرج نداشته و صورت کسر اول در بالا و صورت کسر دوم را در مخرج قرار می دهیم.

جمع و تفریق کسرها به کمک محور:

1- ابتدا محور را رسم کرده و به اندازه ی مخرج کسر، واحدها را تقسیم بندی می کنیم.

2- اگر مخرج ها برابر نباشند مخرج مساوی گرفته سپس محور را تقسیم بندی می کنیم.

3- روی محور اولین کسر را با خط نمایش می دهیم.

4- در جمع به اندازه ی کسر دوم از انتهای کسر اول جلو می رویم نقطه ی به دست آمده جواب سوال است.

در تفریق به اندازه ی کسر دوم از انتهای کسر اول به سمت صفر محور برمی گردیم تا جواب به دست آید.

اعداد اعشاری

نمایش عددهای اعشاری: اعداد اعشاری اعدادی هستند که از دو قسمت صحیح و اعشاری تشکیل شده اند. مانند4/35 که قسمت صحیح آن 4و قسمت اعشاری آن 35 می باشد.

به کسرهایی که مخرج آن ها 10 یا 100 یا 1000 یا... باشد کسر اعشاری می گویند.

توجه: در عددهای اعشاری اولین رقم بعد از ممیز دهم، دومین رقم صدم، سومین رقم هزارم و... می گویند.

روش تبدیل کسر به عدد اعشاری:

حالت اول) برای تبدیل کسرهایی که مخرج آنها 10 یا 100 یا 1000 یا... می باشد، ابتدا صورت کسر را نوشته و سپس به تعداد صفرهای مخرخ از سمت راست عدد، جدا کرده و ممیز می زنیم.

حالت دوم) برای تبدیل کسرهایی که مخرج آنها 10 یا 100 یا 1000 یا... نیست باید صورت ومخرج را در عددی ضرب کنیم تا مخرج کسر یکی از عددهای 10 یا 100 یا 1000 یا... شود.

حالت سوم) اگر مخرج یک کسر به عددهای 10 یا 100 یا 1000 یا...تبدیل نشد در این صورت باید صورت کسر را بر مخرجش تقسیم کنیم و خارج قسمت را تا یک رقم اعشار و یا بیشتر به دست آوریم.

روش مقایسه ی دو عدد اعشاری: ابتدا قسمت های صحیح را باهم مقایسه می کنیم، عددی بزرگ تر است که قسمت صحیح آن بزرگ تر باشد. در صورت مساوی بودن قسمت های صحیح، قسمت های اعشاری آن ها را به ترتیب: به این صورت که ابتدا رقم های مرتبه ی دهم، سپس رقم های مرتبه ی صدم، سپس رقم های مرتبه ی هزارم ,… را باهم مقایسه می کنیم.

روش تبدیل عددهای اعشاری به کسر: ابتدا عدد را بدون ممیز در صورت کسر می نویسیم، تعداد رقم های قسمت اعشار، نشان دهنده ی تعداد صفرهای جلوی یک در مخرج است.

توجه 1: اگر در عددهای اعشاری، بعد از آخرین رقم اعشاری به تعداد دلخواه صفر بگذاریم عدد هیچ تغییری نمی کند. از این خاصیت در جمع و تفریق یا پیش روی در تقسیم اعشاری استفاده می کنیم.

مثال:... = 75/300= 75/30 = 75/3

توجه 2: توجه کنید اگر در بین رقم های یک عدد اعشاری صفر قرار دهیم عدد تغییر می کند به طور مثال عددهای 25/2 و 25/ 0 2 برابر نیستند.

جمع اعداد اعشاری

در جمع اعداد اعشاری مراحل زیر را طی می کنیم:

1- بهتر است عدد بزرگتر را بالا قرار دهیم.

2- قسمت های صحیح را زیر هم می نویسیم یعنی: یکان زیر یکان، دهگان زیر دهگان و...

3- ممیز را در زیر ممیز می نویسیم.

4- قسمت های اعشاری را زیر هم می نویسیم یعنی دهم زیر دهم، صدم زیر صدم و...

5- مانند جمع معمولی، عمل جمع را انجام می دهیم.

تفریق اعداد اعشاری

در تفریق اعداد اعشاری مراحل زیر را طی می کنیم:

1- باید حتما عدد بیشتر را بالا قرار دهیم.

2- ممیز را در زیر ممیز می نویسیم

3- قسمت های صحیح را زیر هم می نویسیم یعنی: یکان زیر یکان، دهگان زیر دهگان و...

4- قسمت های اعشاری را زیر هم می نویسیم یعنی دهم زیر دهم، صدم زیر صدم و...

5- مانند تفریق معمولی، عمل تفریق را انجام می دهیم.

ضرب اعداد اعشاری

برای ضرب اعداد اعشاری، دو عدد را بدون در نظر گرفتن ممیز در زیر هم نوشته و عمل ضرب را انجام می دهیم سپس به تعداد رقم های اعشاری در حاصل ضرب از سمت راست به چپ رقم جدا کرده و ممیز می زنیم.

تقسیم اعداد اعشاری

تقسیم اعداد اعشاری بر دو نوع است: تقسیم اعشاری نوع اول – تقسیم اعشاری نوع دوم

تقسیم اعشاری نوع اول: یعنی مقسوم عدد اعشاری است ولی مقسوم علیه عدد صحیح.

تقسیم اعشاری نوع دوم: یعنی مقسو علیه عدد اعشاری می باشد.

روش حل تقسیم اعشاری نوع اول:

1- ابتدا از ممیز یک خط راست می کشیم. این خط نشان دهنده تمام ممیزهایی است که در میان اعداد قرار می گیرد.

2- تقسیم را مانند تقسیم معمولی انجام می دهیم.

3- وقتی به ممیز رسیدیم در خارج قسمت ممیز میزنیم.

4- در پایان، در باقیمانه ار روی خط، ممیز می زنیم.

روش حل تقسیم اعشاری نوع دوم

الف) ابتدا باید مقسوم و مقسوم علیه را در 10 ویا 100 ویا 1000 ویا... ضرب کنیم. تا ممیز مقسوم علیه از بین برود و سپس تقسیم را انجام می دهیم.

توجه: (اگر مقسوم علیه یک رقم اعشار داشته باشد در 10 ضرب می کنیم- اگر مقسوم علیه دو رقم اعشار داشته باشد در 100 ضرب می کنیم...)

ب) در پایان کار باقیمانده را بر عددی که مقسوم و مقسوم علیه ضرب کردیم تقسیم می کنیم.

نمایش عدد اعشاری روی محور: برای نشان دادن یک عدد اعشاری روی محور، به ترتیب مراحل زیر را در نظر می گیریم:

1- محور اعداد را رسم می کنیم.

2- هر واحد را با توجه به قسمت اعشاری به (10 یا 100 یا..) قسمت مساوی تقسیم می کنیم مثلا اگر دهم باشد هر واحد را به 10 قسمت مساوی تقسیم می کنیم.

روی قسمت های تقسیم شده، قسمت اعشاری را مشخص می کنیم.